關(guān)于雞兔同籠題目的例子和解答？

典型應(yīng)用題之雞兔同籠

一,基本問(wèn)題

"雞兔同籠"是一類有名的中國(guó)古算題.最早出現(xiàn)在《孫子算經(jīng)》中.許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化成這類問(wèn)題,或者用解它的典型解法--"假設(shè)法"來(lái)求解.因此很有必要學(xué)會(huì)它的解法和思路.

例1 有若干只雞和兔子,它們共有88個(gè)頭,244只腳,雞和兔各有多少只

解:我們?cè)O(shè)想,每只雞都是"金雞獨(dú)立",一只腳站著;而每只兔子都用兩條后腿,像人一樣用兩只腳站著.現(xiàn)在,地面上出現(xiàn)腳的總數(shù)的一半,·也就是

244÷2=122(只).

在122這個(gè)數(shù)里,雞的頭數(shù)算了一次,兔子的頭數(shù)相當(dāng)于算了兩次.因此從122減去總頭數(shù)88,剩下的就是兔子頭數(shù)

122-88=34,

有34只兔子.當(dāng)然雞就有54只.

答:有兔子34只,雞54只.

上面的計(jì)算,可以歸結(jié)為下面算式:

總腳數(shù)÷2-總頭數(shù)=兔子數(shù).

上面的解法是《孫子算經(jīng)》中記載的.做一次除法和一次減法,馬上能求出兔子數(shù),多簡(jiǎn)單!能夠這樣算,主要利用了兔和雞的腳數(shù)分別是4和2,4又是2的2倍.可是,當(dāng)其他問(wèn)題轉(zhuǎn)化成這類問(wèn)題時(shí),"腳數(shù)"就不一定是4和2,上面的計(jì)算方法就行不通.因此,我們對(duì)這類問(wèn)題給出一種一般解法.

還說(shuō)例1.

如果設(shè)想88只都是兔子,那么就有4×88只腳,比244只腳多了

88×4-244=108(只).

每只雞比兔子少(4-2)只腳,所以共有雞

(88×4-244)÷(4-2)= 54(只).

說(shuō)明我們?cè)O(shè)想的88只"兔子"中,有54只不是兔子.而是雞.因此可以列出公式

雞數(shù)=(兔腳數(shù)×總頭數(shù)-總腳數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù)).

當(dāng)然,我們也可以設(shè)想88只都是"雞",那么共有腳2×88=176(只),比244只腳少了

244-176=68(只).

每只雞比每只兔子少(4-2)只腳,

68÷2=34(只).

說(shuō)明設(shè)想中的"雞",有34只是兔子,也可以列出公式

兔數(shù)=(總腳數(shù)-雞腳數(shù)×總頭數(shù))÷(兔腳數(shù)-雞腳數(shù)).

上面兩個(gè)公式不必都用,用其中一個(gè)算出兔數(shù)或雞數(shù),再用總頭數(shù)去減,就知道另一個(gè)數(shù).

假設(shè)全是雞,或者全是兔,通常用這樣的思路求解,有人稱為"假設(shè)法".

現(xiàn)在,拿一個(gè)具體問(wèn)題來(lái)試試上面的公式.

例2 紅鉛筆每支0.19元,藍(lán)鉛筆每支0.11元,兩種鉛筆共買(mǎi)了16支,花了2.80元.問(wèn)紅,藍(lán)鉛筆各買(mǎi)幾支

解:以"分"作為錢(qián)的單位.我們?cè)O(shè)想,一種"雞"有11只腳,一種"兔子"有19只腳,它們共有16個(gè)頭,280只腳.

現(xiàn)在已經(jīng)把買(mǎi)鉛筆問(wèn)題,轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問(wèn)題了.利用上面算兔數(shù)公式,就有

藍(lán)筆數(shù)=(19×16-280)÷(19-11)

=24÷8

=3(支).

紅筆數(shù)=16-3=13(支).

答:買(mǎi)了13支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆.

對(duì)于這類問(wèn)題的計(jì)算,常常可以利用已知腳數(shù)的特殊性.例2中的"腳數(shù)"19與11之和是30.我們也可以設(shè)想16只中,8只是"兔子",8只是"雞",根據(jù)這一設(shè)想,腳數(shù)是

8×(11+19)=240.

比280少40.

40÷(19-11)=5.

就知道設(shè)想中的8只"雞"應(yīng)少5只,也就是"雞"(藍(lán)鉛筆)數(shù)是3.

30×8比19×16或11×16要容易計(jì)算些.利用已知數(shù)的特殊性,靠心算來(lái)完成計(jì)算.

實(shí)際上,可以任意設(shè)想一個(gè)方便的兔數(shù)或雞數(shù).例如,設(shè)想16只中,"兔數(shù)"為10,"雞數(shù)"為6,就有腳數(shù)

19×10+11×6=256.

比280少24.

24÷(19-11)=3,

就知道設(shè)想6只"雞",要少3只.

要使設(shè)想的數(shù),能給計(jì)算帶來(lái)方便,常常取決于你的心算本領(lǐng).

下面再舉四個(gè)稍有難度的例子.

例3 一份稿件,甲單獨(dú)打字需6小時(shí)完成.乙單獨(dú)打字需10小時(shí)完成,現(xiàn)在甲單獨(dú)打若干小時(shí)后,因有事由乙接著打完,共用了7小時(shí).甲打字用了多少小時(shí)

解:我們把這份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍數(shù)),甲每小時(shí)打30÷6=5(份),乙每小時(shí)打30÷10=3(份).

現(xiàn)在把甲打字的時(shí)間看成"兔"頭數(shù),乙打字的時(shí)間看成"雞"頭數(shù),總頭數(shù)是7."兔"的腳數(shù)是5,"雞"的腳數(shù)是3,總腳數(shù)是30,就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"問(wèn)題了.

根據(jù)前面的公式

"兔"數(shù)=(30-3×7)÷(5-3)

=4.5,

"雞"數(shù)=7-4.5

=2.5,

也就是甲打字用了4.5小時(shí),乙打字用了2.5小時(shí).

答:甲打字用了4小時(shí)30分.

例4 今年是1998年,父母年齡(整數(shù))和是78歲,兄弟的年齡和是17歲.四年后(2002年)父的年齡是弟的年齡的4倍,母的年齡是兄的年齡的3倍.那么當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),是公元哪一年

解:4年后,兩人年齡和都要加8.此時(shí)兄弟年齡之和是17+8=25,父母年齡之和是78+8=86.我們可以把兄的年齡看作"雞"頭數(shù),弟的年齡看作"兔"頭數(shù).25是"總頭數(shù)".86是"總腳數(shù)".根據(jù)公式,兄的年齡是

(25×4-86)÷(4-3)=14(歲).

1998年,兄年齡是

14-4=10(歲).

父年齡是

(25-14)×4-4=40(歲).

因此,當(dāng)父的年齡是兄的年齡的3倍時(shí),兄的年齡是

(40-10)÷(3-1)=15(歲).

這是2003年.

答:公元2003年時(shí),父年齡是兄年齡的3倍.

例5 蜘蛛有8條腿,蜻蜓有6條腿和2對(duì)翅膀,蟬有6條腿和1對(duì)翅膀.現(xiàn)在這三種小蟲(chóng)共18只,有118條腿和20對(duì)翅膀.每種小蟲(chóng)各幾只

解:因?yàn)轵唑押拖s都有6條腿,所以從腿的數(shù)目來(lái)考慮,可以把小蟲(chóng)分成"8條腿"與"6條腿"兩種.利用公式就可以算出8條腿的

蜘蛛數(shù)=(118-6×18)÷(8-6)

=5(只).

因此就知道6條腿的小蟲(chóng)共

18-5=13(只).

也就是蜻蜓和蟬共有13只,它們共有20對(duì)翅膀.再利用一次公式

蟬數(shù)=(13×2-20)÷(2-1)=6(只).

因此蜻蜓數(shù)是13-6=7(只).

答:有5只蜘蛛,7只蜻蜓,6只蟬.

例6 某次數(shù)學(xué)考試考五道題,全班52人參加,共做對(duì)181道題,已知每人至少做對(duì)1道題,做對(duì)1道的有7人,5道全對(duì)的有6人,做對(duì)2道和3道的人數(shù)一樣多,那么做對(duì)4道的人數(shù)有多少人

解:對(duì)2道,3道,4道題的人共有

52-7-6=39(人).

他們共做對(duì)

181-1×7-5×6=144(道).

由于對(duì)2道和3道題的人數(shù)一樣多,我們就可以把他們看作是對(duì)2.5道題的人((2+3)÷2=2.5).這樣

兔腳數(shù)=4,雞腳數(shù)=2.5,

總腳數(shù)=144,總頭數(shù)=39.

對(duì)4道題的有

(144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人).

答:做對(duì)4道題的有31人.

習(xí)題一

1.龜鶴共有100個(gè)頭,350只腳.龜,鶴各多少只

2.學(xué)校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120個(gè)學(xué)生同時(shí)進(jìn)行活動(dòng).象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有幾副

3.一些2分和5分的硬幣,共值2.99元,其中2分硬幣個(gè)數(shù)是5分硬幣個(gè)數(shù)的4倍,問(wèn)5分硬幣有多少個(gè)

4.某人領(lǐng)得工資240元,有2元,5元,10元三種人民幣,共50張,其中2元與5元的張數(shù)一樣多.那么2元,5元,10元各有多少?gòu)?

5.一件工程,甲單獨(dú)做12天完成,乙單獨(dú)做18天完成,現(xiàn)在甲做了若干天后,再由乙接著單獨(dú)做完余下的部分,這樣前后共用了16天.甲先做了多少天

6.摩托車(chē)賽全程長(zhǎng)281千米,全程被劃分成若干個(gè)階段,每一階段中,有的是由一段上坡路(3千米),一段平路(4千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的;有的是由一段上坡路(3千米),一段下坡路(2千米)和一段平路(4千米)組成的.已知摩托車(chē)跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含這兩種階段各幾段

7.用1元錢(qián)買(mǎi)4分,8分,1角的郵票共15張,問(wèn)最多可以買(mǎi)1角的郵票多少?gòu)?

二,"兩數(shù)之差"的問(wèn)題

雞兔同籠中的總頭數(shù)是"兩數(shù)之和",如果把條件換成"兩數(shù)之差",又應(yīng)該怎樣去解呢

例7 買(mǎi)一些4分和8分的郵票,共花6元8角.已知8分的郵票比4分的郵票多40張,那么兩種郵票各買(mǎi)了多少?gòu)?

解一:如果拿出40張8分的郵票,余下的郵票中8分與4分的張數(shù)就一樣多.

(680-8×40)÷(8+4)=30(張),

這就知道,余下的郵票中,8分和4分的各有30張.

因此8分郵票有

40+30=70(張).

答:買(mǎi)了8分的郵票70張,4分的郵票30張.

也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.

解二:譬如,假設(shè)有20張4分,根據(jù)條件"8分比4分多40張",那么應(yīng)有60張8分.以"分"作為計(jì)算單位,此時(shí)郵票總值是

4×20+8×60=560.

比680少,因此還要增加郵票.為了保持"差"是40,每增加1張4分,就要增加1張8分,每種要增加的張數(shù)是

(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10(張).

因此4分有20+10=30(張),8分有60+10=70(張).

例8 一項(xiàng)工程,如果全是晴天,15天可以完成.倘若下雨,雨天一天

工程要多少天才能完成

解:類似于例3,我們?cè)O(shè)工程的全部工作量是150份,晴天每天完成10份,雨天每天完成8份.用上一例題解一的方法,晴天有

(150-8×3)÷(10+8)= 7(天).

雨天是7+3=10天,總共

7+10=17(天).

答:這項(xiàng)工程17天完成.

請(qǐng)注意,如果把"雨天比晴天多3天"去掉,而換成已知工程是17天完成,由此又回到上一節(jié)的問(wèn)題.差是3,與和是17,知道其一,就能推算出另一個(gè).這說(shuō)明了例7,例8與上一節(jié)基本問(wèn)題之間的關(guān)系.

總腳數(shù)是"兩數(shù)之和",如果把條件換成"兩數(shù)之差",又應(yīng)該怎樣去解呢

例9 雞與兔共100只,雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問(wèn)雞與兔各幾只

解一:假如再補(bǔ)上28只雞腳,也就是再有雞28÷2=14(只),雞與兔腳數(shù)就相等,兔的腳是雞的腳4÷2=2(倍),于是雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍.兔的只數(shù)是

(100+28÷2)÷(2+1)=38(只).

雞是

100-38=62(只).

答:雞62只,兔38只.

當(dāng)然也可以去掉兔28÷4=7(只).兔的只數(shù)是

(100-28÷4)÷(2+1)+7=38(只).

也可以用任意假設(shè)一個(gè)數(shù)的辦法.

解二:假設(shè)有50只雞,就有兔100-50=50(只).此時(shí)腳數(shù)之差是

4×50-2×50=100,

比28多了72.就說(shuō)明假設(shè)的兔數(shù)多了(雞數(shù)少了).為了保持總數(shù)是100,一只兔換成一只雞,少了4只兔腳,多了2只雞腳,相差為6只(千萬(wàn)注意,不是2).因此要減少的兔數(shù)是

(100-28)÷(4+2)=12(只).

兔只數(shù)是

50-12=38(只).

另外,還存在下面這樣的問(wèn)題:總頭數(shù)換成"兩數(shù)之差",總腳數(shù)也換成"兩數(shù)之差".

例10 古詩(shī)中,五言絕句是四句詩(shī),每句都是五個(gè)字;七言絕句是四句詩(shī),每句都是七個(gè)字.有一詩(shī)選集,其中五言絕句比七言絕句多13首,總字?jǐn)?shù)卻反而少了20個(gè)字.問(wèn)兩種詩(shī)各多少首.

解一:如果去掉13首五言絕句,兩種詩(shī)首數(shù)就相等,此時(shí)字?jǐn)?shù)相差

13×5×4+20=280(字).

每首字?jǐn)?shù)相差

7×4-5×4=8(字).

因此,七言絕句有

28÷(28-20)=35(首).

五言絕句有

35+13=48(首).

答:五言絕句48首,七言絕句35首.

解二:假設(shè)五言絕句是23首,那么根據(jù)相差13首,七言絕句是10首.字?jǐn)?shù)分別是20×23=460(字),28×10=280(字),五言絕句的字?jǐn)?shù),反而多了

460-280=180(字).

與題目中"少20字"相差

180+20=200(字).

說(shuō)明假設(shè)詩(shī)的首數(shù)少了.為了保持相差13首,增加一首五言絕句,也要增一首七言絕句,而字?jǐn)?shù)相差增加8.因此五言絕句的首數(shù)要比假設(shè)增加

200÷8=25(首).

五言絕句有

23+25=48(首).

七言絕句有

10+25=35(首).

在寫(xiě)出"雞兔同籠"公式的時(shí)候,我們假設(shè)都是兔,或者都是雞,對(duì)于例7,例9和例10三個(gè)問(wèn)題,當(dāng)然也可以這樣假設(shè).現(xiàn)在來(lái)具體做一下,把列出的計(jì)算式子與"雞兔同籠"公式對(duì)照一下,就會(huì)發(fā)現(xiàn)非常有趣的事.

例7,假設(shè)都是8分郵票,4分郵票張數(shù)是

(680-8×40)÷(8+4)=30(張).

例9,假設(shè)都是兔,雞的只數(shù)是

(100×4-28)÷(4+2)=62(只).

10,假設(shè)都是五言絕句,七言絕句的首數(shù)是

(20×13+20)÷(28-20)=35(首).

首先,請(qǐng)讀者先弄明白上面三個(gè)算式的由來(lái),然后與"雞兔同籠"公式比較,這三個(gè)算式只是有一處"-"成了"+".其奧妙何在呢

當(dāng)你進(jìn)入初中,有了負(fù)數(shù)的概念,并會(huì)列二元一次方程組,就會(huì)明白,從數(shù)學(xué)上說(shuō),這一講前兩節(jié)列舉的所有例子都是同一件事.

例11 有一輛貨車(chē)運(yùn)輸2000只玻璃瓶,運(yùn)費(fèi)按到達(dá)時(shí)完好的瓶子數(shù)目計(jì)算,每只2角,如有破損,破損瓶子不給運(yùn)費(fèi),還要每只賠償1元.結(jié)果得到運(yùn)費(fèi)379.6元,問(wèn)這次搬運(yùn)中玻璃瓶破損了幾只

解:如果沒(méi)有破損,運(yùn)費(fèi)應(yīng)是400元.但破損一只要減少1+0.2=1.2(元).因此破損只數(shù)是

(400-379.6)÷(1+0.2)=17(只).

答:這次搬運(yùn)中破損了17只玻璃瓶.

請(qǐng)你想一想,這是"雞兔同籠"同一類型的問(wèn)題嗎

例12 有兩次自然測(cè)驗(yàn),第一次24道題,答對(duì)1題得5分,答錯(cuò)(包含不答)1題倒扣1分;第二次15道題,答對(duì)1題8分,答錯(cuò)或不答1題倒扣2分,小明兩次測(cè)驗(yàn)共答對(duì)30道題,但第一次測(cè)驗(yàn)得分比第二次測(cè)驗(yàn)得分多10分,問(wèn)小明兩次測(cè)驗(yàn)各得多少分

解一:如果小明第一次測(cè)驗(yàn)24題全對(duì),得5×24=120(分).那么第二次只做對(duì)30-24=6(題)得分是

8×6-2×(15-6)=30(分).

兩次相差

120-30=90(分).

比題目中條件相差10分,多了80分.說(shuō)明假設(shè)的第一次答對(duì)題數(shù)多了,要減少.第一次答對(duì)減少一題,少得5+1=6(分),而第二次答對(duì)增加一題不但不倒扣2分,還可得8分,因此增加8+2=10分.兩者兩差數(shù)就可減少

6+10=16(分).

(90-10)÷(6+10)=5(題).

因此,第一次答對(duì)題數(shù)要比假設(shè)(全對(duì))減少5題,也就是第一次答對(duì)19題,第二次答對(duì)30-19=11(題).

第一次得分

5×19-1×(24- 9)=90.

第二次得分

8×11-2×(15-11)=80.

答:第一次得90分,第二次得80分.

解二:答對(duì)30題,也就是兩次共答錯(cuò)

24+15-30=9(題).

第一次答錯(cuò)一題,要從滿分中扣去5+1=6(分),第二次答錯(cuò)一題,要從滿分中扣去8+2=10(分).答錯(cuò)題互換一下,兩次得分要相差6+10=16(分).

如果答錯(cuò)9題都是第一次,要從滿分中扣去6×9.但兩次滿分都是120分.比題目中條件"第一次得分多10分",要少了6×9+10.因此,第二次答錯(cuò)題數(shù)是

(6×9+10)÷(6+10)=4(題)·

第一次答錯(cuò) 9-4=5(題).

第一次得分 5×(24-5)-1×5=90(分).

第二次得分 8×(15-4)-2×4=80(分).

習(xí)題二

1.買(mǎi)語(yǔ)文書(shū)30本,數(shù)學(xué)書(shū)24本共花83.4元.每本語(yǔ)文書(shū)比每本數(shù)學(xué)書(shū)貴0.44元.每本語(yǔ)文書(shū)和數(shù)學(xué)書(shū)的價(jià)格各是多少

2.甲茶葉每千克132元,乙茶葉每千克96元,共買(mǎi)這兩種茶葉12千克.甲茶葉所花的錢(qián)比乙茶葉所花錢(qián)少354元.問(wèn)每種茶葉各買(mǎi)多少千克

3.一輛卡車(chē)運(yùn)礦石,晴天每天可運(yùn)16次,雨天每天只能運(yùn)11次.一連運(yùn)了若干天,有晴天,也有雨天.其中雨天比晴天多3天,但運(yùn)的次數(shù)卻比晴天運(yùn)的次數(shù)少27次.問(wèn)一連運(yùn)了多少天

4.某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)共20道題,做對(duì)一題得5分,做錯(cuò)一題倒扣1分,不做得0分.小華得了76分.問(wèn)小華做對(duì)了幾道題

5.甲,乙二人射擊,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分.每人各射10發(fā),共命中14發(fā).結(jié)算分?jǐn)?shù)時(shí),甲比乙多10分.問(wèn)甲,乙各中幾發(fā)

6.甲,乙兩地相距12千米.小張從甲地到乙地,在停留半小時(shí)后,又從乙地返回甲地,小王從乙地到甲地,在甲地停留40分鐘后,又從甲地返回乙地.已知兩人同時(shí)分別從甲,乙兩地出發(fā),經(jīng)過(guò)4小時(shí)后,他們?cè)诜祷氐耐局邢嘤?如果小張速度比小王速度每小時(shí)多走1.5千米,求兩人的速度.

三,從"三"到"二"

"雞"和"兔"是兩種東西,實(shí)際上還有三種或者更多種東西的類似問(wèn)題.在第一節(jié)例5和例6就都有三種東西.從這兩個(gè)例子的解法,也可以看出,要把"三種"轉(zhuǎn)化成"二種"來(lái)考慮.這一節(jié)要通過(guò)一些例題,告訴大家兩類轉(zhuǎn)化的方法.

例13 學(xué)校組織新年游藝晚會(huì),用于獎(jiǎng)品的鉛筆,圓珠筆和鋼筆共232支,共花了300元.其中鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍.已知鉛筆每支0.60元,圓珠筆每支2.7元,鋼筆每支6.3元.問(wèn)三種筆各有多少支

解:從條件"鉛筆數(shù)量是圓珠筆的4倍",這兩種筆可并成一種筆,四支鉛筆和一支圓珠筆成一組,這一組的筆,每支價(jià)格算作

(0.60×4+2.7)÷5=1.02(元).

現(xiàn)在轉(zhuǎn)化成價(jià)格為1.02和6.3兩種筆.用"雞兔同籠"公式可算出,鋼筆支數(shù)是

(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12(支).

鉛筆和圓珠筆共

232-12=220(支).

其中圓珠筆

220÷(4+1)=44(支).

鉛筆

220-44=176(支).

答:其中鋼筆12支,圓珠筆44支,鉛筆176支.

例14 商店出售大,中,小氣球,大球每個(gè)3元,中球每個(gè)1.5元,小球每個(gè)1元.張老師用120元共買(mǎi)了55個(gè)球,其中買(mǎi)中球的錢(qián)與買(mǎi)小球的錢(qián)恰好一樣多.問(wèn)每種球各買(mǎi)幾個(gè)

解:因?yàn)榭傚X(qián)數(shù)是整數(shù),大,小球的價(jià)錢(qián)也都是整數(shù),所以買(mǎi)中球的錢(qián)數(shù)是整數(shù),而且還是3的整數(shù)倍.我們?cè)O(shè)想買(mǎi)中球,小球錢(qián)中各出3元.就可買(mǎi)2個(gè)中球,3個(gè)小球.因此,可以把這兩種球看作一種,每個(gè)價(jià)錢(qián)是

(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元).

從公式可算出,大球個(gè)數(shù)是

(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(個(gè)).

買(mǎi)中,小球錢(qián)數(shù)各是

(120-30×3)÷2=15(元).

可買(mǎi)10個(gè)中球,15個(gè)小球.

答:買(mǎi)大球30個(gè),中球10個(gè),小球15個(gè).

例13是從兩種東西的個(gè)數(shù)之間倍數(shù)關(guān)系,例14是從兩種東西的總錢(qián)數(shù)之間相等關(guān)系(倍數(shù)關(guān)系也可用類似方法),把兩種東西合井成一種考慮,實(shí)質(zhì)上都是求兩種東西的平均價(jià),就把"三"轉(zhuǎn)化成"二"了.

例15是為例16作準(zhǔn)備.

例15 某人去時(shí)上坡速度為每小時(shí)走3千米,回來(lái)時(shí)下坡速度為每小時(shí)走6千米,求他的平均速度是多少

解:去和回來(lái)走的距離一樣多.這是我們考慮問(wèn)題的前提.

平均速度=所行距離÷所用時(shí)間

去時(shí)走1千米,要用20分鐘;回來(lái)時(shí)走1千米,要用10分鐘.來(lái)回共走2千米,用了30分鐘,即半小時(shí),平均速度是每小時(shí)走4千米.

千萬(wàn)注意,平均速度不是兩個(gè)速度的平均值:每小時(shí)走(6+3)÷2=4.5千米.

例16 從甲地至乙地全長(zhǎng)45千米,有上坡路,平路,下坡路.李強(qiáng)上坡速度是每小時(shí)3千米,平路上速度是每小時(shí)5千米,下坡速度是每小時(shí)6千米.從甲地到乙地,李強(qiáng)行走了10小時(shí);從乙地到甲地,李強(qiáng)行走了11小時(shí).問(wèn)從甲地到乙地,各種路段分別是多少千米

解:把來(lái)回路程45×2=90(千米)算作全程.去時(shí)上坡,回來(lái)是下坡;去時(shí)下坡回來(lái)時(shí)上坡.把上坡和下坡合并成"一種"路程,根據(jù)例15,平均速度是每小時(shí)4千米.現(xiàn)在形成一個(gè)非常簡(jiǎn)單的"雞兔同籠"問(wèn)題.頭數(shù)10+11=21,總腳數(shù)90,雞,兔腳數(shù)分別是4和5.因此平路所用時(shí)間是

(90-4×21)÷(5-4)=6(小時(shí)).

單程平路行走時(shí)間是6÷2=3(小時(shí)).

從甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小時(shí))行走路程是

45-5×3=30(千米).

又是一個(gè)"雞兔同籠"問(wèn)題.從甲地至乙地,上坡行走的時(shí)間是

(6×7-30)÷(6-3)=4(小時(shí)).

行走路程是3×4=12(千米).

下坡行走的時(shí)間是7-4=3(小時(shí)).行走路程是6×3=18(千米).

答:從甲地至乙地,上坡12千米,平路15千米,下坡18千米.

做兩次"雞兔同籠"的解法,也可以叫"兩重雞兔同籠問(wèn)題".例16是非常典型的例題.

例17 某種考試已舉行了24次,共出了426題.每次出的題數(shù),有25題,或者16題,或者20題.那么,其中考25題的有多少次

解:如果每次都考16題,16×24=384,比426少42道題.

每次考25道題,就要多25-16=9(道).

每次考20道題,就要多20-16=4(道).

就有

9×考25題的次數(shù)+4×考20題的次數(shù)=42.

請(qǐng)注意,4和42都是偶數(shù),9×考25題次數(shù)也必須是偶數(shù),因此,考25題的次數(shù)是偶數(shù),由9×6=54比42大,考25題的次數(shù),只能是0,2,4這三個(gè)數(shù).由于42不能被4整除,0和4都不合適.只能是考25題有2次(考20題有6次).

答:其中考25題有2次.

例18 有50位同學(xué)前往參觀,乘電車(chē)前往每人1.2元,乘小巴前往每人4元,乘地下鐵路前往每人6元.這些同學(xué)共用了車(chē)費(fèi)110元,問(wèn)其中乘小巴的同學(xué)有多少位

解:由于總錢(qián)數(shù)110元是整數(shù),小巴和地鐵票也都是整數(shù),因此乘電車(chē)前往的人數(shù)一定是5的整數(shù)倍.

如果有30人乘電車(chē),

110-1.2×30=74(元).

還余下50-30=20(人)都乘小巴錢(qián)也不夠.說(shuō)明假設(shè)的乘電車(chē)人數(shù)少了.

如果有40人乘電車(chē)

110-1.2×40=62(元).

還余下50-40=10(人)都乘地下鐵路前往,錢(qián)還有多(62>6×10).說(shuō)明假設(shè)的乘電車(chē)人數(shù)又多了.30至40之間,只有35是5的整數(shù)倍.

現(xiàn)在又可以轉(zhuǎn)化成"雞兔同籠"了:

總頭數(shù) 50-35=15,

總腳數(shù) 110-1.2×35=68.

因此,乘小巴前往的人數(shù)是

(6×15-68)÷(6-4)=11.

答:乘小巴前往的同學(xué)有11位.

在"三"轉(zhuǎn)化為"二"時(shí),例13,例14,例16是一種類型.利用題目中數(shù)量比例關(guān)系,把兩種東西合并組成一種.例17,例18是另一種類型.充分利用所求個(gè)數(shù)是整數(shù),以及總量的限制,其中某一個(gè)數(shù)只能是幾個(gè)數(shù)值.對(duì)幾個(gè)數(shù)值逐一考慮是否符合題目的條件.確定了一個(gè)個(gè)數(shù),也就變成"二"的問(wèn)題了.在小學(xué)算術(shù)的范圍內(nèi),學(xué)習(xí)這兩種類型已足夠了.更復(fù)雜的問(wèn)題,只能借助中學(xué)的三元一次方程組等代數(shù)方法去求解.